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擲骰子也能解數學題

 

文/穿山甲

圖/克拉克

通常在學校學習的數學,舉凡三角函數、幾何圖形與方程式等,都有簡潔的數學公式,就連考試還會透過精心設計,讓你算出一個簡單的數字。

然而現實世界的問題通常極為複雜,例如,沒辦法透過簡單的計算,算出不規則土地的面積。變數過多的物理問題,也很難得到精確解。這時,反而可以利用擲骰子的概念,以隨機數值來解決問題,只要隨機值取得夠多,最終就能得出接近真實答案的估計值。

布豐投針 求圓周率

以隨機選擇處理問題,一個比較經典的應用為圓周率π的求解。雖然圓周率的定義很簡單,但是正確的數值究竟為何,卻是古時眾多科學家想一探究竟的問題。在1777年法國科學家布豐發表了一道數學問題,後世稱為「布豐投針」。

他提到有一塊鋪設很多條平行排列的木紋地板,每塊木板寬度一致,隨機將短於木板寬度的針撒至地板上,試求針壓在木紋地板縫隙的機率。這道數學問題可以用簡單的幾何與積分求得。雖然算出圓周率不是布豐的本意,但可以發現到只要投擲的次數夠多,就可以用獲得的機率,反推出圓周率的數值。

圓周率為約莫等於3.14的無理數。聯合國組織將每年的3月14日,設定為國際數學日或稱作圓周率日,也會有很多組織在這天舉辦布豐投針實驗。

另一種以隨機方式求解圓周率的方法,為在圓中隨意撒上豆子。準備一張邊長為2R的方形紙,在內部畫上半徑為R的內切圓,隨後在方形區域上灑豆子。扣除超出方形區域以外的豆子,觀察有多少豆子在圓與方形中。

由面積公式可以知道,圓面積除以方形面積的比值為π/4。如果豆子撒的數量夠多,落在圓中除以落在方形中,得到的機率值就會近似於π/4,換算即可獲得圓周率值。

蒙地卡羅 隨機求解

科學模擬常用的蒙地卡羅法,其原理也是透過隨機選擇處理複雜問題。這項技術是1940年代參與曼哈頓計畫的科學家烏拉姆,在生病休養期間過於無聊,自己玩起單人紙牌遊戲時想到的。他嘗試計算紙牌遊戲的勝率,由於紙牌的排列組合眾多計算困難,最簡單的方法是以贏的次數除以玩的次數來求得勝率。

然而紙牌的變化過多且極為複雜,要將多數的狀況都玩過一遍,顯然需要花非常長的時間。這時他突然想到可以藉由電腦協助,以大量隨機數值逼近真正的答案。後來他將這個想法告訴其他同事,蒙地卡羅模擬方法也因此誕生。

在1940年當時美國正值研究核子試驗年代,烏拉姆等人嘗試以這種方法,模擬中子碰撞原子核的過程,成功解決工程上的難題。由於這種方法以隨機選擇來設計,而博弈又與機率密切相關,因此以著名的賭場蒙地卡羅命名之,又稱為「隨機模擬算法」。

在蒙地卡羅法誕生的那幾十年時間,應用並不普及,主要原因在於當時的電腦才剛發明,相關技術遠不及現代電腦,直到1970年代蒙地卡羅法才開始真正被各領域所關注。在工程上可能會因為材料缺稀、製作過於複雜且困難,以及造價昂貴等原因,無法輕易製作實體設備。通常會在電腦上建構實驗系統,並設置各種實驗條件進行模擬,在電腦上修改參數也非常容易,因此電腦搭配蒙地卡羅法,至今仍是工程上強而有力的重要工具,並為十大數學建模方法之一。

16 04 2025

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