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卡爾達諾 破解三次方程式博學奇才

圖/樹下繪本

圖/樹下繪本

文/張瑞棋

文藝復興時期的義大利,出現許多橫跨不同領域的博學之士,其中最具代表性的無疑是達文西,他在藝術、建築、數學、科學、工程、解剖學……各方面都有傑出成就。晚達文西半世紀出生的卡爾達諾(Girolamo Cardano)知名度沒那麼高,卻也是位在多個領域做出卓越貢獻的奇才。

卡爾達諾於1501年9月24日在義大利北部的帕維亞出生,父親是位精通數學的律師,也是達文西的好友。卡爾達諾能出生長大就是一項奇蹟,他出生幾個月後逢黑死病橫行,3個哥哥與奶媽都因此病故,唯獨他撐了過來,但臉上留下難看的肉瘤,從此也體弱多病。

賭博法則  贏得經濟

或許是因為自身經歷,卡爾達諾一心想學醫,但父親卻堅持要他當律師,倘若不從,就一毛錢都不給他。卡爾達諾為了賺取學費與生活費,便將腦筋動到骰子與紙牌的賭博上。 當時大家都以為這完全是靠

運氣,但他卻領悟出不同的

骰子點數或牌型組合所出現的機會,其實遵循著一定的法則,因此他總能根據較高的勝率下注,結果這竟成為他長期的經濟來源。

卡爾達諾在大學時也對數學和自然哲學產生了興趣,因此1526年畢業後,一邊行醫,還一邊研究數學與各種機械原理。1535年,兩位義大利數學家的比試受到各方矚目,也引起卡爾達諾的注意。

歐洲地區在12世紀就已經得知二次方程式的一般解(就是我們都背過的公式“2a分之負b加減根號b平方-4ac”),但三次方程式的解法卻一直無法破解。1515年,達爾費羅(Scipione del Ferro)找出ax3+bx=c這種類型的解法,但他並未對外公布,只傳給他的女婿以及弟子費奧雷(Antonio Maria Fiore)兩人。

破解程式  一舉成名

1535年,費奧雷聽說塔爾塔利亞(Niccolò Tartaglia)解出某種三次方程式,便向他提出挑戰,雙方各出30題三次方程式,看誰在限時內解出最多題。費奧雷仗著握有老師祕傳的公式,便故意都出這種題型,自信滿滿地要藉此一戰成名。沒想到,塔爾塔利亞竟然迅速解出所有題目,而費奧雷卻解不出塔爾塔利亞的題目,狼狽慘敗。

這是史上首度有人公開解出數種三次方程式的題目,塔爾塔利亞因此聲名大噪。

卡爾達諾正在編寫數學著作,想將三次方程式的解法也納入書中,便在1539年邀請塔爾塔利亞前來作客,答應將他引介給王公貴族(卡爾達諾的確因為醫術高明,受到許多權貴倚重),成功哄他說出解法,並承諾守密不宣。

卡爾達諾了解塔爾塔利亞的解法後,大受啟發,將尚未解出的其它類型三次方程式也都一併解出,他的弟子費拉里(Lodovico Ferrari)更進一步找到某種四次方程式題型的解法。隨後卡爾達諾得知塔爾塔利亞的解法更早之前就由達爾費羅發現,覺得沒有繼續守密的必要,便在1545年出版的《大術》中,公開三次方程式與部分四次方程式的一般解法。

《大術》一出版,立刻轟動歐洲數學界。雖然卡爾達諾在書中如實提及達爾費羅與塔爾塔利亞兩人的貢獻,但大家仍將三次方程式的一般解稱為「卡爾達諾公式」。塔爾塔利亞當然氣瘋了,不斷抨擊卡爾達諾背信忘義,竊取自己的成果。費拉里為了捍衛師父的聲譽,出面和塔爾塔利亞比試數學,結果塔爾塔利亞一敗塗地,最後於1557年抑鬱而終。

卡爾達諾在《大術》中還展現其它原創性,包括首度用負數進行運算、首度提及虛數。此外他為了賭博而寫下的祕笈,比巴斯卡和費馬更早論及機率,堪稱史上第一本機率理論的著作。

卡爾達諾在1570年蒙受牢獄之災,他因為用星象學推算耶穌的命盤而被指為異端,鋃鐺入獄,不過他的著作全被教會列為禁書,只有醫療方面的書籍可以出版。卡爾達諾在1576年過世前,索性將尚未出版的170篇手稿全都燒掉;從他已經問世的發現與發明來看,不禁讓人想像這些手稿若能流傳下來,歷史上會不會多一位堪比達文西的科學奇才?

05 01 2024

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