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圖/樹下繪本
文/原禾香
所謂「鑲嵌」(tessellation),有人說是「密鋪」(tiling),它的規則其實很簡單:就是用同樣的圖形,不斷重複、不相交疊且毫無空隙地舖齊湊滿整個平面。聽起來容易,殊不知這可是結合美學、建築與高深幾何學的超級難題。
異想世界 寫實呈現
無論是用於嚴謹的數學證明,還是奔放的藝術創作,「拼湊」本身就是一種化零為整的魔術與藝術。
西元前,一座中世紀摩爾人的宮殿阿爾罕布拉宮(Alhambra),牆面上布滿複雜的幾何圖騰,而當時的工匠們僅憑著圓規與尺,就創造出令人眼花撩亂的對稱美感。一位荷蘭版畫大師艾雪(M.C. Escher)對此深深震撼。因此影響他打破幾何圖形界線,用「鑲嵌」手法創造出超現實藝術領域。如果去過艾雪展,一定對那些變形蜥蜴、逐漸變成飛鳥的魚印象深刻。而不管他的圖案怎麼變,卻都嚴格遵守著數學的「密鋪」法則。
台灣也有一位運用鑲嵌手法的大師顏水龍,他的鑲嵌畫(Mosaic,又稱馬賽克)是一種對土地的深情拼貼。台北劍潭公園路邊一幅長達100公尺的巨幅牆面是顏水龍的經典之作〈從農業社會到工業社會〉。顏水龍用細碎的瓷片,將台灣的熱帶陽光與庶民生活,永恆地「鑲」在我們的城市記憶裡。
蜜蜂居所 六角形房
回到數學基本定義:重複使用一種正多邊形所形成的鑲嵌,稱為正鑲嵌(regular tessellation/regular tiling)。正鑲嵌只有3種:正三角形、正方形以及正六邊形。理由是就像大家圍圓桌吃飯不有空隙一樣,接合點的內角總和必須剛好是360度。
● 正三角形(內角60度):6個拼在一起,剛好360度。
● 正方形(內角90度):4個拼在一起,剛好360度。
● 正六邊形(內角120度):3個拼在一起,剛好360度。
而正五邊形(內角108度),無法整除360,所以永遠無法只用正五邊形磁磚鋪滿浴室而不留縫隙。這也是為什麼蜜蜂築巢會選擇六邊形,因為那是既能密鋪、又能用最少材料圍出最大空間的最佳幾何結構。
幾何解剖 形狀重排
當「鑲嵌」遇上「幾何解剖」,數學可以展現出裁縫刀般精準。20世紀初,英國益智大師杜德尼提出著名的「裁縫師問題」:能否把一個正三角形切成幾塊且不浪費任何面積地拼成正方形?解鎖祕密就藏在鑲嵌結構中。若將同一圖形鋪成固定的寬邊、而長邊可無限的長條排列,會形成一條「鑲嵌帶」;多條鑲嵌帶左右錯動,卻仍然能維持完整鋪排。進一步取等面積的正三角形與正方形,各自形成鑲嵌帶後加以疊合,會發現交疊線條恰好切出可重組的碎片。只要依這些交點切割三角形,再旋轉拼合,便能完成從三角轉換為正方形。這正是運用了幾何解剖的原理:以最少的切割,達成最巧妙的形狀。所以,數學不只是「計算」,也能形塑「空間結構」。
長久以來,科學家一直尋找一種「單一形狀」的磁磚,就能鋪滿整個平面卻永不形成週期性圖案,這種「假想的」理想形狀被稱為「愛因斯坦圖塊」(德語「一塊石頭」,與愛因斯坦無關)。2023年,業餘數學家大衛.史密斯以一個13邊形「帽子」圖塊,實現了「單一非週期鋪排」而震撼數學界,被譽為幾何學的聖杯。
從阿爾罕布拉宮的繁複美學,再到荷蘭的艾雪版畫、台灣顏水龍大師的馬賽克壁畫,以及幾何數學解開「鑲嵌帶」形狀變換的奧祕,甚至是當代爆炸性的數學發現,「鑲嵌」擁有數學與藝術交織的迷人魅力。
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