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圖/小格
圖/小格
文/山羊
小明與阿傑對數字的奧祕及趣味產生濃厚興趣,兩人就一起到圖書館找書參考,又發現有一種「完美數」(perfect number),也叫作「完全數」或「完備數」。
了解「完美數」之前,必須先說一下「因數」,也稱為「因子」或「除數」這個常見的名詞。所謂因數就是指兩個正整數(自然數),如4跟2,4可以被2整除,所以4是2的倍數,2就是4的「因數」。也就是說4有1、2、4這3個因數,除4自己本身以外的因數,即1跟2,則稱為「真因數」或「正因數」。
完美數字 非常罕見
了解因數之後,就可以理解完美數的定義:一個正整數的所有因數,除了本身以外的所有真因數,加起來的總和等於它本身,這個正整數就是一個完美數,是一種非常特殊的數字。
例如:第1個完美數是6,它的因數1、2、3、6,除本身6外,其餘3個相加,即1+2+3=6,恰好等於它本身。
第2個完美數是28,有因數1、2、4、7、14、28,除28外,其餘5個數相加,1+2+4+7+14=28,也恰好等於它自己。
第3個完美數是496,所有因數是1、2、4、8、16、31、62、124、248、496,除496外,其餘9個數相加,1+2+4+8+16+31+62+124+248=496也是如此。
接下來的3個完美數則是8128、33550336、8589869056,第4個8128還可以用手算,到第5個33550336已經有超過1000個以上的因數,可能會讓人算到手麻!至於第7個完美數則是12位數的137438691328。第8個有19位數,第9個有37位數,第10個則高達54位數。
就像完美的人或事物不多,完美數也非常罕見,從前6個來看,5位數到7位數、9位數、11位數等都沒有完美數。至今,被數學家找到的完美數只有51個,第51個在2018年底發現,總共超過4900萬位數。
另外,從前面列出的7個完美數來看,完美數都是以6或28結尾。至少到目前為止,科學家仍未發現由其他數字結尾的完美數。
還有,完美數全都是偶數,至於是否存在奇數的完美數,也成了數論界最古老的未解之謎,連一些著名的大數學家都無法證明。他們只能推測即使有奇完美數,這個數字必定非常非常龐大。
歷史悠久 特性眾多
西元前6世紀,古希臘的數學家畢達哥拉斯與他的追隨者就已經在研究完美數。他們相信數字有靈性與神聖意義,認為6象徵圓滿婚姻以及健康與美麗。
古希臘數學家歐幾里得(Euclid)則在《幾何原本》第9卷中,提出了生成完美數的公式。
中世紀基督教哲學家把神祕的數學與神學連結,他們認為6與28是上帝創造世界時所用的基本數字,因為祂花了6日來創造世界,而28天則是月亮繞地球1周的數字,所以完美數是宇宙和諧的象徵。
完美數對許多數學家與業餘愛好者有一種特別吸引力,在多如星辰的數字中,第5個完美數33550336一直到15世紀才由一位無名氏找了出來。電腦問世後,大大增加了人們繼續探索的能力。
完美數還有許多特性,其中3個是:
所有的完美數都可以寫成連續自然數的和,例如6=1+2+3,28=1+2+3+4+5+6+7,496=1+2+3+…+30+31,8128=1+2+3…+126+127,33550336=1+2+3+…+8191。
每個完美數的所有因數(包括本身)的倒數(即將自己變成分母,分子是1的分數,如1變成1/1,2變成1/2,3變成1/3等)的和都是2。例如:1/1+1/2+1/3+1/6=2,1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2,1/1+1/2+1/4+1/8…+1/248+1/496=2。
除6以外,把它的各個數字相加,得到的和一樣繼續相加,一直到變成一個位數,這個位數一定是1。例如28:2+8=10,1+0=1;496:4+9+6=19,1+9=10,1+0=1;8128:8+1+2+8=19,1+9=10,1+0=1;33550336:3+3+5+5+0+3+6=28,2+8=10,1+0=1。
小明與阿傑決定明天數學課時,要用6、28、496為例子,跟同學分享這麼奇妙的「完美數」。
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